sábado, 1 de enero de 2050

PRESENTACIÓN
Hola chic@s, gracias por conectaros, espero que durante estos días podamos hacer un repaso de lo ya aprendido y avanzar un poco en la asignatura, esperando que todo vuelva a la normalidad lo más pronto posible.
Para cualquier duda podéis enviarme un mensaje al siguiente dirección de email: direccionpondal@gmail.com

Cada entrada del blog se corresponde con la tarea planteada para cada día que en vuestro horario tuvieseis matemáticas y mientras dure el aislamiento iré colgando más tareas, por lo que tendréis que visitar el blog periódicamente. Las actividades planteadas tendréis que realizarlas en el cuaderno de clase así que mucho ánimo.

Aquí os dejo una interesante conferencia de un gran comunicador llamado Eduardo Sáenz para aquellos que queráis visualizarla. Trata sobre las matemáticas y la educación que espero que os haga reflexionar.



martes, 31 de marzo de 2020

MÉRCORES 1/04/2020



Buenos días, hoy os dejo una prueba que me tendréis que enviar  a direccionpondal@gmail.com antes del 10 de abril. Durante la mañana de hoy publicaré todos los ejercicios así que os pido que vayáis recargando la página de vez en cuando

Además recuerdo a todos los rezagados que debéis de tener hecho en vuestro cuaderno de clase todos los ejercicios planteados en todas las entradas de este blog.


La tarea a entregar es la siguiente:

Parte trigonometría

1.
2.



Parte Vectores

3. Calcula el vector AB sabiendo que A(-3,2) y B(1, 3) y la distancia entre los punto A y B.

4. Calcula el punto medio del segmento de extremos A(-5, 1) y B(-1,-7).

5. Dados los vectores u(2, -3) y v(1, 2) halla w=3u - 2v, el producto escalar de u·v y el ángulo que forman u y v.

6. Determina si los puntos A(1,1), B(-2,-5) y C(0,-1) están alineados.

7. Prueba que los vectores u(3,-2) y v(1,2) son base de V2 y halla las coordenadas de w(5, 2) en dicha base.




domingo, 29 de marzo de 2020

LUNES 30/03/2020

Buenos días chicos, gracias por conectaros. Espero que llevéis bien el confinamiento porque todavía queda un poco, aunque cada día que pasa siempre queda un día menos. 

Vamos con los últimos conceptos de vectores para ir terminando el tema, así que concentraros y  a ello:


COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:





 \displaystyle \vec{v} = a_1 \vec{v_1} + a_2 \vec{v_2} + \cdots + a_n \vec{v_n}
 Para el caso particular de dos vectores \vec{u}\vec{v} , y dos números a,b, entonces una combinación lineal de \vec{u}  y \vec{v} está dada por el vector 
  a\vec{u}+b\vec{v} 
Ejemplo: Dados los vectores u(-2, 3) y v(1,4) halla la combinación lineal de u y v siguiente:              w=2u-5v
      Solución: 
                        w=2·(-2,3) - 5·(1,4)= (-4, 6) - (5, 20) = (-9, 26)
      Por tanto w=(-9, 26) y diremos que w es combinación lineal de u y v.
       Ahora veamos lo que significa una combinación lineal.
Ahora vamos a ver que significa gráficamente una combinación lineal :
Ejemplo: Supongamos que tenemos dos vectores u y v, entonces la siguiente figura muestra la representación gráfica del vector \displaystyle \vec{w} = 2\vect{u} + 3\vect{v}.
combinacion lineal de los vectores u y v
Finalmente vamos a ver que si nos dan el vector w y nos dicen que es combinación lineal de dos vectores u y v  podemos hallar la combinación lineal que los relaciona  resolviendo un sistema. Veámoslo con un ejemplo:

Expresa al vector \vec{z} = (2, 1) como una combinación lineal de los vectores \vec{x} = (3, -2) y \vec{y} = (1, 4), es decir, encuentra valores a y b tales que se cumpla la igualdad z=ax+by
Solución: Supongamos que \vec{z} se puede escribir como una combinación lineal de \vec{x} e y , es decir, existen constantes a, b tales que \vec{z} = a \vec{x} + b\vec{y}. Por lo tanto, solo debemos encontrar estas constantes:
 (2, 1) = a(3, -2) + b(1, 4) = (3a, -2a) + (b, 4b)=(3a+b, -2a+4b)
Por tanto, tenemos que
(2, 1) = (3a + b, -2a + 4b)
Es decir, las constantes a, b deben resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineal:
\displaystyle \begin{cases} 3a + b = 2\\ -2a + 4b = 1 \end{cases}
Cuya solución está dada por
\displaystyle a = \frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2}
De este modo, \vec{z} se puede escribir como
 \displaystyle \vec{z} = \frac{1}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y}


Ahora os dejo un vídeo con la explicación para complementar la teoría anterior donde aparecen dos ejercicios resueltos más:




Al conjunto de todos los vectores del plano se le denomina V2.

BASE DE V2

Dos vectores u y v forman una base de V2, cuando cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos o dicho de otra manera si realizamos todas las combinaciones lineales posibles con los vectores u y v obtendríamos todos los vectores de V2. También se dice que u y v generanV2.

Ahora bien, dados dos vectores u y v, que condición han de cumplir para que puedan formar una base de V2:

       Diremos que dos vectores u y v forman una base de V2  cuando cumplan estas dos condiciones:

                   i)  ninguno de ellos es el vector (0,0)
                       ii) no son paralelos

Ejemplos: Cuales de los siguientes vectores forman base:

a) B={(1,-1),(-1,0)}

solución:  i) Los vectores (1,-1) y (-1,0) no son el (0,0)
              ii) Los vectores (1,-1) y (-1,0) no son paralelos ya que 1/-1 es distinto de -1/0
     Por lo tanto forman una base

b) B={(1,-1),(-2,2)}

solución:  i) Los vectores (1,-1) y (-2,2) no son el (0,0)
              ii) Los vectores (1,-1) y (-2,2)  son paralelos ya que 1/-2 es igual a  -1/2
     Por lo tanto no forman base

c) B={(1,-1),(0,0)}

solución: No es base porque contiene al vector nulo.


Llamaremos coordenadas de un vector w respecto de una base B={u,v} a los escalares que permiten expresar al vector w como combianción lineal de los vectores de la base, es decir, si w=au+bv entonces a y b son las coordenadas de w en la base B={u,v}.

Ejemplo de como hallar las coordenadas de v(3, -2) respecto de la basde B={(1,-1),(-1,0)}, es decir como hallamos a y b para que (3, -2)=a(1,-1)+b(-1,0).

Solución: (en el vídeo a Vle llaman IR2 y a a y b alfa y beta pero es lo mismo)



Ejemplo:

Dada la base B = {(1, 0), (1, 1)}, veamos cuáles serán  las coordenadas del vector w = (5, 3) respecto de la base B.

(5,3) = a(1, 0)+ b(1, 1) Þ (5,3) = (a, 0) + (b, b) = (a + b, b)

Igualando coordenadas, se deduce que a = 2 y b = 3.

Luego el vector w tiene de coordenadas (2, 3) respecto de la base B


Con estos dos conceptos terminamos el tema de vectores. Espero que os hallan quedado claros todos los conceptos porque aunque no son muy difíciles entiendo que esta manera de dar clase resulta un poco extraña para vosotros y también para mí, más aún cuando para vosotros se trata de un tema nuevo del que hasta ahora no teníais ninguna referencia. Como todo a medida que se va practicando os sentiréis más seguros y os resultará más fácil. Os dejo unos ejercicios para que practiquéis y espero que os salgan. Como siempre cualquier duda en el mail.

EJERCICIOS

1. Dados los vectores a(5,-1), b(-10,2), c(15,-3), d(2,2). Decidir razonadamente las siguientes cuestiones:

a) ¿son a y b base?

b) ¿c y d son base?

c) Halla las coordenadas del vector (7, -11) en la base formada por los vectores c y d.

2.Decide si los siguientes pares de vectores son o no perpendiculares:

 a) a(-2,4) y b(3,2)

 b) c(4,-3) y d(6,8)

3. Calcula el ángulo que forman los vectores a(-1,5) y b(3,2)

4. Expresa w = (-1, -8) como combinación lineal de u = (3, -2) y v = (4, 1/2)

5. Halla el valor de m para que el módulo del vector (3/5, m) sea igual a 1.

6.Determina si los puntos A( -1, -2), B(2, 7) y C(1, 2) están alineados.

7.Halla el simétrico de P(1, -2) respecto del punto H(3, 0).


SOLUCIONES

1. a) ¿Son a(5,-1) y  b(-10,2) base?

       i) La primera condición la cumplen puesto que ninguno de ellos es el (0,0)
       ii) Veamos si son paralelos: 5/-10 da lo mismo que -1/2 por lo que los vectores son paralelos con lo cual no se cumple la segunda condición, recordar que para ser base no pueden ser paralelos. Entonces los vectores a y b no forman una base.

    b) ¿Son c(15,-3) y  d(2,2) base?
       i) La primera condición la cumplen puesto que ninguno de ellos es el (0,0)
       ii) Veamos si son paralelos: 15/2 es distinto de -3/2 por lo que los vectores no son paralelos. 
Entonces se cumplen las condiciones i) e ii) por lo que los vectores c y d  forman una base.

    c)  Halla las coordenadas del vector (7, -11) en la base formada por los vectores c y d.
         Necesitamos hallar x e y de modo que (7,-11)=x(15,-3)+y(2,2)

         por lo tanto:

                              (7,-11)=(15x,-3x)+(2y,2y)

                              (7,-11)=(15x+2y,-3x+2y)

         e igualando coordenada a coordenada obtenemos el siguiente sistema:

                               15x+2y=7
                               -3x+2y=-11

         cuya solución es:
                                   x=1 e y= - 4

         Por lo tanto las coordenadas de (7,-11) en la base formada por los vectores

 c y d son 1 y -4.


2.Recordar que dos vectores son perpendiculares cuando el producto escalar es 0.

a) a(-2,4) y b(3,2) 

             a.b=(-2).3+4.2=-6+8=2   luego no son perpendiculares. 

b )c(4,-3) y d(6,8) 

             c.d=4.6+(-3).8=24-24=0  luego si son perpendiculares

3. Para hallar el ángulo entre dos vectores debemos de utilizar la fórmula del producto escalar:











4.  Expresa w = (-1, -8) como combinación lineal de u = (3, -2) y v = (4, 1/2)


Por lo tanto las coordenadas de w en combinación lineal de u y v son 63/19 y -52/19

5. Halla el valor de m para que el módulo del vector (3/5, m) sea igual a 1.
6. Determina si los puntos A( -1, -2), B(2, 7) y C(1, 2) están alineados.

    Para resolverlo tenemos que hallar los vectores AB Y BC o AB y AC y ver si son paralelos, en cualquiera de los dos casos, si son paralelos diremos que los puntos están alineados y si no lo son los puntos no están alineados.



7.Halla el simétrico de H(1, -2) respecto del punto P(3, 0).

                                    H                           P                      S=(x,y)
                                    .                  .                  .




jueves, 26 de marzo de 2020

VENRES 27/03/2020


{C=(7,-5)}


Buenos dias chicos, continuamos con ejercicios de vectores:


1.Calcular la distancia entre los puntos {A=(2,1)} y {B=(-3,2)}.

2. Si {\vec{v}} es un vector de componentes {(3,4)}, hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.

3.Hallar las coordenadas del punto medio del segmento {AB}, de extremos {A=(3,9)} y {B=(-1,5)}.

4.Hallar las coordenadas del punto {C}, sabiendo que {B=(2,-2)} es el punto medio de {AC}, donde {A=(-3,1)}.

5. Averiguar si están alineados los puntos {A=(-2,-3), B=(1,0)} y {C=(6,5)}

SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO A OTRO

Vamos a ver como se calcula el simétrico de un punto con respecto a otro. Fijaros en el dibujo porque os ayuda. Dado un punto A y otro M, diremos que A' es simétrico de A respecto de M cuando el punto medio entre A y A' sea M, es decir:

 Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA' Por lo que se verificará igualdad:
Ejemplo:

              Hallar el simétrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, −11).

 Si llamamos a A'(x,y) entonces se cumple que el vector AM es igual al vector MA' puesto que al estar M en el centro se cumple que los dos vectores coinciden en dirección modulo y sentido, luego son iguales.

AM=M-A=(-4, 15)
MA'=(x-3, y+11)

Entonces:


.

Ejercicio 6 Hallar el simétrico del punto {A=(4,-2)} respecto de {M=(2,6)}.


SOLUCIONES


Solucion 1:


{d(AB)=\sqrt{(-3-2)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{26}}

Solución 2:

                       {\vec{u}=\displaystyle\frac{1}{5}(3,4)=\left( \frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)}

Solución 3:

                       El punto medio es {P_{m}=(1,7)}
Solución 4:
{C=(7,-5)}
Solución 5:
Sí están alineados porque los vectores AB Y BC son pararlelos.
Solución 6:
El simétrico es el punto A'(0,14)

Bueno espero que no hallais tenido muchos problemas con los ejercicios y el lunes nos vemos "virtualmente". Buen finde!!