LUNES 30/03/2020

Buenos días chicos, gracias por conectaros. Espero que llevéis bien el confinamiento porque todavía queda un poco, aunque cada día que pasa siempre queda un día menos. 

Vamos con los últimos conceptos de vectores para ir terminando el tema, así que concentraros y  a ello:

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:

 

 Para el caso particular de dos vectores ,  , y dos números , entonces una combinación lineal de   y  está dada por el vector 

   

Ejemplo: Dados los vectores u(-2, 3) y v(1,4) halla la combinación lineal de u y v siguiente:              w=2u-5v

      Solución: 

                        w=2·(-2,3) - 5·(1,4)= (-4, 6) - (5, 20) = (-9, 26)

      Por tanto w=(-9, 26) y diremos que w es combinación lineal de u y v.

       Ahora veamos lo que significa una combinación lineal.

Ahora vamos a ver que significa gráficamente una combinación lineal :

Ejemplo: Supongamos que tenemos dos vectores u y v, entonces la siguiente figura muestra la representación gráfica del vector .

Finalmente vamos a ver que si nos dan el vector w y nos dicen que es combinación lineal de dos vectores u y v  podemos hallar la combinación lineal que los relaciona  resolviendo un sistema. Veámoslo con un ejemplo:

Expresa al vector  como una combinación lineal de los vectores  y , es decir, encuentra valores a y b tales que se cumpla la igualdad z=ax+by

Solución: Supongamos que  se puede escribir como una combinación lineal de  e y , es decir, existen constantes  tales que . Por lo tanto, solo debemos encontrar estas constantes:

 =(3a+b, -2a+4b)

Por tanto, tenemos que

Es decir, las constantes  deben resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineal:

Cuya solución está dada por

De este modo,  se puede escribir como

 

Ahora os dejo un vídeo con la explicación para complementar la teoría anterior donde aparecen dos ejercicios resueltos más:

Al conjunto de todos los vectores del plano se le denomina V².

BASE DE V²

Dos vectores u y v forman una base de V², cuando cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos o dicho de otra manera si realizamos todas las combinaciones lineales posibles con los vectores u y v obtendríamos todos los vectores de V². También se dice que u y v generanV².

Ahora bien, dados dos vectores u y v, que condición han de cumplir para que puedan formar una base de V²:

       Diremos que dos vectores u y v forman una base de V²  cuando cumplan estas dos condiciones:

                   i)  ninguno de ellos es el vector (0,0)

                       ii) no son paralelos

Ejemplos: Cuales de los siguientes vectores forman base:

a) B={(1,-1),(-1,0)}

solución:  i) Los vectores (1,-1) y (-1,0) no son el (0,0)

              ii) Los vectores (1,-1) y (-1,0) no son paralelos ya que 1/-1 es distinto de -1/0

     Por lo tanto forman una base

b) B={(1,-1),(-2,2)}

solución:  i) Los vectores (1,-1) y (-2,2) no son el (0,0)

              ii) Los vectores (1,-1) y (-2,2)  son paralelos ya que 1/-2 es igual a  -1/2

     Por lo tanto no forman base

c) B={(1,-1),(0,0)}

solución: No es base porque contiene al vector nulo.

Llamaremos coordenadas de un vector w respecto de una base B={u,v} a los escalares que permiten expresar al vector w como combianción lineal de los vectores de la base, es decir, si w=au+bv entonces a y b son las coordenadas de w en la base B={u,v}.

Ejemplo de como hallar las coordenadas de v(3, -2) respecto de la basde B={(1,-1),(-1,0)}, es decir como hallamos a y b para que (3, -2)=a(1,-1)+b(-1,0).

Solución: (en el vídeo a V² le llaman IR2 y a a y b alfa y beta pero es lo mismo)

Ejemplo:

Dada la base B = {(1, 0), (1, 1)}, veamos cuáles serán  las coordenadas del vector w = (5, 3) respecto de la base B.

(5,3) = a(1, 0)+ b(1, 1) Þ (5,3) = (a, 0) + (b, b) = (a + b, b)

Igualando coordenadas, se deduce que a = 2 y b = 3.

Luego el vector w tiene de coordenadas (2, 3) respecto de la base B

Con estos dos conceptos terminamos el tema de vectores. Espero que os hallan quedado claros todos los conceptos porque aunque no son muy difíciles entiendo que esta manera de dar clase resulta un poco extraña para vosotros y también para mí, más aún cuando para vosotros se trata de un tema nuevo del que hasta ahora no teníais ninguna referencia. Como todo a medida que se va practicando os sentiréis más seguros y os resultará más fácil. Os dejo unos ejercicios para que practiquéis y espero que os salgan. Como siempre cualquier duda en el mail.

EJERCICIOS

1. Dados los vectores a(5,-1), b(-10,2), c(15,-3), d(2,2). Decidir razonadamente las siguientes cuestiones:

a) ¿son a y b base?

b) ¿c y d son base?

c) Halla las coordenadas del vector (7, -11) en la base formada por los vectores c y d.

2.Decide si los siguientes pares de vectores son o no perpendiculares:

 a) a(-2,4) y b(3,2)

 b) c(4,-3) y d(6,8)

3. Calcula el ángulo que forman los vectores a(-1,5) y b(3,2)

4. Expresa w = (-1, -8) como combinación lineal de u = (3, -2) y v = (4, 1/2)

5. Halla el valor de m para que el módulo del vector (3/5, m) sea igual a 1.

6.Determina si los puntos A( -1, -2), B(2, 7) y C(1, 2) están alineados.

7.Halla el simétrico de P(1, -2) respecto del punto H(3, 0).

SOLUCIONES

1. a) ¿Son a(5,-1) y  b(-10,2) base?

       i) La primera condición la cumplen puesto que ninguno de ellos es el (0,0)

       ii) Veamos si son paralelos: 5/-10 da lo mismo que -1/2 por lo que los vectores son paralelos con lo cual no se cumple la segunda condición, recordar que para ser base no pueden ser paralelos. Entonces los vectores a y b no forman una base.

    b) ¿Son c(15,-3) y  d(2,2) base?

       i) La primera condición la cumplen puesto que ninguno de ellos es el (0,0)

       ii) Veamos si son paralelos: 15/2 es distinto de -3/2 por lo que los vectores no son paralelos. 

Entonces se cumplen las condiciones i) e ii) por lo que los vectores c y d  forman una base.

    c)  Halla las coordenadas del vector (7, -11) en la base formada por los vectores c y d.

         Necesitamos hallar x e y de modo que (7,-11)=x(15,-3)+y(2,2)

         por lo tanto:

                              (7,-11)=(15x,-3x)+(2y,2y)

                              (7,-11)=(15x+2y,-3x+2y)

         e igualando coordenada a coordenada obtenemos el siguiente sistema:

                               15x+2y=7

                               -3x+2y=-11

         cuya solución es:

                                   x=1 e y= - 4

         Por lo tanto las coordenadas de (7,-11) en la base formada por los vectores

 c y d son 1 y -4.

2.Recordar que dos vectores son perpendiculares cuando el producto escalar es 0.

a) a(-2,4) y b(3,2) 

             a.b=(-2).3+4.2=-6+8=2   luego no son perpendiculares. 

b )c(4,-3) y d(6,8) 

             c.d=4.6+(-3).8=24-24=0  luego si son perpendiculares

3. Para hallar el ángulo entre dos vectores debemos de utilizar la fórmula del producto escalar:

4.  Expresa w = (-1, -8) como combinación lineal de u = (3, -2) y v = (4, 1/2)

Por lo tanto las coordenadas de w en combinación lineal de u y v son 63/19 y -52/19

5. Halla el valor de m para que el módulo del vector (3/5, m) sea igual a 1.

6. Determina si los puntos A( -1, -2), B(2, 7) y C(1, 2) están alineados.

    Para resolverlo tenemos que hallar los vectores AB Y BC o AB y AC y ver si son paralelos, en cualquiera de los dos casos, si son paralelos diremos que los puntos están alineados y si no lo son los puntos no están alineados.

7.Halla el simétrico de H(1, -2) respecto del punto P(3, 0).

                                    H                           P                      S=(x,y)

                                    .                  .                  .