18 MAYO 2020

Buenos días chic@s, vamos a ver un poco de funciones, recordad que el curso pasado ya vimos el concepto de función, interpretamos gráficas  y aprendimos a representar las funciones lineales y la funciones cuadráticas. El estudio de las funciones es algo básico y fundamental en las matemáticas con infinidad de aplicaciones en diferentes campos desde la economía, física, ingeniería, biología, sociología etc (aqui os dejo unos ejemplos). Vamos a recordarlo y a avanzar un poco:

Concepto de función:

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, llamada imagen. A la primera magnitud se le representa por la variable x, llamada variable independiente y a la segunda por la variable y o f(x) denominada variable dependiente puesto que su valor depende de x.

Veamos un ejercicio:

Razonar si las siguientes relaciones son funciones.

     a) Cada número real y su doble.
     b) El tiempo que está un grifo abierto y la cantidad de agua que sale.
     c) El peso de cada persona según su altura.

Solución

     a) Es una función porque para cada valor de x, su doble es un único número.
     b) Es una función porque según los minutos que está el grifo abierto obtenemos un número           único de litros de agua recogida.
     c) No es una función, porque para personas con la misma altura, podemos obtener varios  
          valores distintos de peso.

Os dejo un vídeo para aclarar más el concepto de función:

A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente.

• Variable independiente: la que se fija previamente
• Variable dependiente: La que se deduce de la variable independiente.

Por tanto una función lo que hace es asignarle a cada valor de la variable independiente x un único valor de la variable dependiente y que llamamos imagen y representamos por f(x). Entonces genera pares de valores asociados, cada xo con su imagen f(xo) y dichos valores puestos en unos ejes cartesianos generarán la gráfica de la función.

Expresión analítica. La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona la variable dependiente con la variable independiente, es decir, una expresión que me permite hallar la imagen de cada valor de la variable independiente x sin más que sustituir la x por su valor.

Por ejemplo:

a)  f(x)=2x-1, la función viene expresada por la expresión analítica 2x-1 

¿Cual sería la imagen de x=1?

Pues la obtendría sustituyendo x por 1, es decir, f(1)=2·1-1=1

¿Y la imagen del 3?

 f(3)=2·3-1=5

b)

¿Cuál sería la imagen de x=7?

Pues tenemos que cambiar la x por 7 y obtenemos f(7)=3

¿Y la imagen de -6?

Sustituyendo la x por -6 obtenemos la raíz de - 4, que no tiene solución!!

Esto nos lleva a pensar que en algunos casos no siempre todos los puntos tienen imagen y por eso vamos a tener que introducir un concepto nuevo que es el de dominio de definición de una función

El dominio de una función está formado por todos los valores de x que tienen imagen.

Es decir, son los valores de x que podemos sustituir en la expresión analítica de la función para obtener el valor correspondiente de f(x).

Veamos una breve explicación para después definir unas reglas para poder hallar dominios de funciones:

Entonces el dominio tiene que ver con la forma que tenga la expresión analítica, con que hay ciertas operaciones que en matemáticas no se pueden hacer. Esas operaciones son las que nos van a determinar como podemos hallar el dominio de una función

Cuándo una función no existe

Una función no existirá cuando para los valores de x que provoquen los siguientes casos:

1- Cuando un número quede dividido entre 0:

2- Cuando el contenido de una raíz de índice par es  un número negativo

3- Cuando el contenido de un logaritmo es 0 o un número negativo

Ahora que ya sabes que una función puede tener un valor para unos valores de x o puede no existir para otros valores de x, voy a pasar a explicarte qué es el dominio de una función.

Volvemos a repetir: ¿Qué es el dominio de una función?

El dominio de una función es el rango de valores de x para los que existe f(x), es decir, los valores de x, para los que f(x) tiene un resultado.

Se designa como Dom f.

Visto así asusta un poco, pero conforme vayamos resolviendo ejemplos te va a ir quedando mucho más claro.

Para calcular el dominio de una función, debemos obtener los valores de x, para los que exista esa función. O dicho de otra forma, debemos encontrar para qué valores de x, la función no existe y quedarnos con los valores de x donde la función sí existe.

El dominio de una función entonces depende mucho del tipo de función.

Vamos a verlo:

Cómo calcular el dominio de una función

Dominio de una función polinómica

Las funciones polinómicas son en las que no aparecen ni denominadores ni raíces.

La x  puede aparecer sumando, restando, multiplicando o elevada a algún exponente, como por ejemplo:

En este tipo de funciones no existe ningún valor de x que haga que f(x) no exista. Por tanto, f(x) existe siempre.

Cuando una función existe siempre, su dominio es todo el conjunto de los números reales:

Cómo se calcula el dominio de una función racional

Las funciones racionales existen para todo R, menos para los valores que hacen 0 el denominador.

Por tanto, para calcular el dominio de una función racional, debemos encontrar los valores que hacen 0 el denominador y quitárselo a R.

Por ejemplo:

Esta función existirá siempre, menos cuando el denominador sea igual a 0. Por tanto, debemos encontrar esa restricción que anula al denominador.

Para que exista la función, el denominador debe ser distinto de 0:

Y esta restricción, es una ecuación de primer grado, de donde debemos despejar la x:

Cuando x=1, el denominador será 0. Por tanto, para que exista f(x), x tiene que ser distinto de 1 y ese es el valor que hay que quitarle a R:

El dominio es todo R menos el conjunto formado por el número 1.

Vamos a ver otro ejemplo:

Igual que antes, esta función existirá siempre que el denominador no sea 0. Por tanto, calculamos los valores que hacen 0 el denominador:

Es decir, la función existirá siempre que x sea distinto de 2 y 3, por tanto el dominio es todo R menos 2 y 3:

Cómo se calcula el dominio de una función irracional

Las funciones irracionales son aquellas en las que aparece una raíz.

Las de índice impar existen siempre.

Las de índice par, existen siempre que su contenido sea igual o mayor que cero.

Por ejemplo:

Es una raíz de índice par, por tanto, existe siempre y cuando su contenido sea mayor o igual que 0:

De esta inecuación, despejamos x y nos queda:

Por tanto, la función existirá siempre y cuando x sea mayor o igual que -2. Su dominio es:

Otro ejemplo:

Es una raíz de índice impar, luego existe siempre y su dominio es todo R:

Cómo se calcula el dominio de una función logarítmica

Las funciones logarítmicas con aquellas que la x está dentro de un logaritmo.

Existen siempre y cuando el contenido del logaritmo no sea 0 o un número negativo, es decir, existirán siempre y cuando el contenido del logaritmo sea mayor que 0.

Por ejemplo:

Esta función existirá siempre que el contenido del logaritmo sea mayor que 0:

De esta desigualdad, despejamos la x y nos queda:

La función existirá siempre que x sea mayor que 3. Por tanto su dominio será:

Dominio de una función exponencial

Las funciones exponenciales son aquellas que tienen la x en el exponente, siendo la base:

Donde «a» es un número real mayor que 0 y distinto de 1:

Podemos encontrarnos estas funciones como un número elevado a una función o también como el número e elevado a una función. Por ejemplo:

En las funciones exponenciales no existe ningún valor de x que haga que la función no exista. Por tanto, f(x) existe siempre.

El dominio de una función exponencial, es decir, un número elevado a una función o el número e elevado a una función, es todo el conjunto de los números reales:

Bueno, si habéis tenido la paciencia y e interés por haber llegado hasta aquí tengo que felicitaros y deciros que esa es la actitud que debéis de tener para poder llegar lejos en la vida y que todo el esfuerzo que estáis realizando os servirá de ayuda el próximo curso. Creo que os merecéis que hoy no os ponga otra tarea. El próximo día veremos algunos ejercicios de cálculo de dominios. Gracias.