domingo, 22 de marzo de 2020

MIÉRCOLES 25/03/2020


Recordar que ya sabemos que es un vector, como se halla el vector que une dos puntos, sabemos hallar su módulo, ver si dos vectores son paralelos, sabemos sumar y restar vectores, multiplicarlos por un número ... y ahora lo que vamos a ver es como se multiplican dos vectores. 



PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES:

Al producto de dos vectores se le llama producto escalar y el resultado sorprendentemente no será un vector sino un número (es decir, un escalar) de ahí su nombre.


El producto escalar de dos vectores, por definición, es el resultado de multiplicar los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:
producto escalarproducto escalar de dos vectores
               Siendo α el ángulo que forman los dos vectores:

     Ejemplo:
Fijaros que en el ejemplo anterior solo necesitábamos saber la medida de los vectores (módulos) y el ángulo que formaban, pero ¿cómo lo haríamos si solo nos dan las coordenadas?
Vamos a ver ahora otra expresión para calcular el producto escalar de dos vectores, sin necesidad de conocer el ángulo que forman entre ellos.
Si tenemos dos vectores, de los cuales conocemos sus componentes:
producto escalar y vectorial ejercicios resueltos
producto escalar de dos vectores ejemplos resueltos
El producto escalar sería igual a la suma de la multiplicación de sus componentes x más la suma de sus componentes «y»:
ejercicios de producto punto
A esta expresión se le conoce como expresión analítica del producto escalar.
     Ejemplo: 
     

Aquí os dejo un vídeo por si teneis alguna duda:


Consecuencias:

      Primera:   ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES

Con la fórmula del producto escalar por definición, se puede obtener el ángulo que forman dos vectores despejando el coseno del ángulo:
 Ahora bien, si tenemos en cuenta la fórmula de la expresión analítica del producto escalar y las fórmulas del módulo de u y v llegamos a la siguiente expresión que nos sirve para hallar el ángulo que forman los vectores  y :


Aquí os dejo un vídeo y dos ejemplos para que os quede claro:

     Ejemplo1:

         Halla el ángulo que forman los vectores:       
         Entonces el ángulo es: 

     Ejemplo2:

             

Segunda:                PERPENDICULARIDAD DE VECTORES

Diremos que dos vectores son perpendiculares u ortogonales, cuando el producto escalar es 0.
ejercicios producto escalar de dos vectores
Demostración:
Esto es así porque dos vectores  son perpendiculares cuando forman un ángulo de 90º. Entonces  producto de vectores ejercicios resueltos0, ya que si recordáis el coseno de 90º es 0.
Si necesitamos hallar las coordenadas de un vector perpendicular a un vector dado solo tenemos que intercambiar las coordenadas entre sí y a una de las dos, cambiarle el signo, es decir, para cualquier vector de coordenadas (a,b):
producto punto ejemplos
un vector perpendicular u ortogonal a v es W=(-b, a) o también W=(b, -a). Podéis hacer la comprobación haciendo el producto escalar de  v por w en cualquiera de los dos casos y comprobaréis que da 0, por lo que son perpendiculares.

     Ejemplo 1


             Si forman un ángulo de 90º entonces son perpendiculares por lo que   el producto escalar tiene que ser 0 entonces:


       Ejemplo 2:
               
                  Halla dos vectores perpendiculares a u(-3,2).

                 Para hallarlos solamente tengo que intercambiar sus coordenadas y                   a una de ellas cambiarle el signo, por tanto 
                       
                            w(2, 3)  o   v(-2, -3) 

                 son perpendiculares a u


Espero que os haya quedado claro el concepto de producto escalar y sus propiedades y como siempre os dejo unos ejercicios para que realicéis en vuestro cuaderno:


Ejercicios propuestos

Os dejo las soluciones de cada ejercicio que aparecen uno a uno  en cada una las  pestañas del siguiente link:  solución, pero recordar que para aprender solamente deberéis de ir a la solución después de haberlo intentado vosotros, porque de lo contrario no habréis  aprendido nada.

Hoy os propongo que hagáis del 1 al 6. El 7, 8, 9 y 10 son para el próximo día!!, aunque los dejo en esta entrada porque tienen que ver con la teoría que vimos hoy.

1 )   Halla el producto escalar de los siguientes vectores.


2 )   Calcula el ángulo que forman los vectores siguientes.


3-a )   Halla el valor de x para que los siguientes vectores sean perpendiculares.


3-b )   Halla el valor de x de forma que el producto escalar de los siguientes vectores sea igual a 2.


4 )   Escribe las coordenadas de dos vectores perpendiculares al siguiente vector:


5 )   Halla un vector unitario y que sea ortogonal o perpendicular al siguiente vector:

          

 (Un vector unitario es un vector que tiene módulo 1. Para que convertir un vector cualquiera en un vector unitario simplemente tenemos que dividir cada coordenada del vector por su módulo)

6 )   Dado los vectores de la figura,


producto escalar vectores

(si os fijáis en la gráfica, u=(4,2) y v=(-3, 3) )

a )  Determina las coordenadas de u y v .
b )  Halla |u|,|v| y |u + v|
c )  Halla u·v
d )  Halla la proyección de u sobre v. (no lo hacer, no lo vimos !!!)
e )  Calcula el ángulo que forman los vectores u y v.
f )  Encuentra un vector unitario que tenga la dirección y el sentido del vector u. (Un vector unitario es un vector que tiene módulo 1. Para que convertir un vector cualquiera en un vector unitario simplemente tenemos que dividir cada coordenada del vector por su módulo)

g )  Halla un vector ortogonal a u y módulo unitario. 

h )  Calcular un vector unitario en la dirección de  v   y  sentido opuesto.

(para cambiar el sentido a un vector basta con cambiarle de signo)

7 )   Dado los siguientes vectores:

a )  Halla |u|,|v| y |w|
b )   El coseno del ángulo que forman dos a dos.
c )  Los ángulos que forman dos a dos.
d )  w + v + u analítica y graficamente.
e )  Un vector normal (es lo mismo que perpendicular) a w.
f )  3v
g )  Un vector paralelo a v.

8-a )   Sean los vectores:

u(-2, x)   y      v(y, -4)

Calcula x e y de manera que ambos vectores sean perpendiculares y |v|=10

8-b )   Dado los vectores:


Hallar un vector w de manera que se verifique w·u=1  y  que  w   sea perpendicular a v (Recordar que ser perpendicular equivale a que el producto escalar sea 0)

9 )   Calcula el valor de x para que el ángulo que forman los siguientes vectores

sea:  (solamente hacer dos de los 5 apartados, son todos iguales)

10 )   Calcula el valor de x para que el siguiente vector

sea ortogonal  (perpendicular)  al vector:

Calculado el valor de x:

a ) Hallar el módulo de u y v.
b ) Hallar el ángulo formado por los vectores u y v.

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