8 JUNIO 2020

Hola chic@s, vamos a ver el último tema de este curso. Se trata del cálculo de probabilidades.


Primeramente vamos a ver un poco de teoría y después un vídeo explicativo de conceptos básicos:

Experimento aleatorio

Un experimento aleatorio  es aquél que si se repite varias veces no está garantizado obtener siempre el mismo resultado. Es decir, no se puede determinar cuál va a ser el resultado del experimento hasta que no se realiza. En caso contrario, decimos que el experimento es determinista

Un experimento es aleatorio cuando depende de muchos factores y cualquier pequeña modificación de alguno implica obtener un resultado diferente.

Ejemplos

• Aleatorio: Lanzar un dado y ver el resultado
• Determinista: Calcular el tiempo que tarda en caer un objeto al suelo desde una distancia determinada

Espacio muestral y sucesos

• Espacio muestral: Conjunto de los posibles resultados del experimento. Se denota: E
• Sucesos simples o elementales: Cualquiera de los elementos del espacio muestral
• Sucesos compuestos: Sucesos formados por varios simples.
• Suceso seguro: Suceso compuesto por los elementos del Espacio muestral. Se cumple siempre
• Suceso imposible: Cualquier suceso que no se cumpla nunca. Se denota con el símbolo: ⌀
• Suceso contrario: Si A es un suceso, A⎯⎯⎯⎯$\overline{A}$ es el suceso contrario. Es aquel que se cumple cuando no se cumple A

Ejemplos

Lanzamos un dado y comprobamos la cara que sale.

• Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Sucesos simples o elementales: 1, 2, 3, 4, 5 ó 6
• Sucesos compuestos: A = {que salga par} = {2, 4, 6}
• Suceso seguro: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso imposible: ⌀ = {que salga mayor que 6}
• Suceso contrario: Si A = {que salga par} = {2, 4, 6}}, A⎯⎯⎯⎯={que salga impar}={1,3,5}$\overline{A}=\{quesalgaimpar\}=\{1,3,5\}$

Operaciones con sucesos y relaciones

• Unión: la unión de los sucesos A y B es aquel suceso que contiene a todos los elementos de A y a los de B. Se denota: A ∪ B

• Intersección: la intersección de los sucesos A y B es aquel suceso que contiene a todos los elementos que están tanto en A como en B. Se denota: A ∩ B

Ejemplos

Tomamos como experimento el resultado de lanzar un dado, y los sucesos:

A = {que salga par} = {2, 4, 6}

B = {que sea mayor que 3} = {4, 5, 6}

C = {que salga impar} = {1, 3, 5}

• A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
  
• A ∩ B = {4, 6}
  
• A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E
• A ∩ C = ⌀

Compatibilidad de sucesos

Se dice que dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es el conjunto vacío. En caso contrario se dice que son compatibles.

Ejemplo

En el ejemplo anterior, A y B son compatibles y A y C incompatibles.

Probabilidad en experimentos regulares y Regla de Laplace

Cuando todos los sucesos elementales de un espacio muestral finito están en las mismas condiciones de suceder se dice que son equiprobables, y al experimento se le llama regular.

Ejemplos de experimentos regulares

Lanzamiento de dados, monedas, extracción de cartas, …

Regla de Laplace

La probabilidad de un suceso de un experimento regular viene determinada por la Regla de Laplace:

P(A)=Casos favorablesCasos posibles$P(A)={\displaystyle \frac{Casosfavorables}{Casosposibles}}$

Ejemplo

Al lanzar un dado, los casos posibles son 6 ({1, 2, 3, 4, 5, 6}):

La probabilidad de sacar un 3: {3}→16$\{3\}\to {\displaystyle \frac{1}{6}}$

La probabilidad de sacar par: {2,4,6}→36$\{2,4,6\}\to {\displaystyle \frac{3}{6}}$

La probabilidad de sacar más de 4: {5,6}→26$\{5,6\}\to {\displaystyle \frac{2}{6}}$

Os dejo un vídeo explicativo:

A continuación dejo tres ejercicios con soluciones para que comprobéis si lo habléis entendido bien:

1 Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.

Solución

Casos posibles: .

Casos favorables: .

Aplicando la Ley de Laplace la probabilidad de que salgan dos caras es:

2 Calcular la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

• Un número par

• Un múltiplo de tres

• Un número mayor que 

1 Un número par.

Casos posibles: .

Casos favorables: .

Aplicando la Ley de Laplace la probabilidad es:

2 Un múltiplo de tres.

Casos posibles: .

Casos favorables: .

Aplicando la Ley de Laplace la probabilidad es:

3 Mayor que 4.

Casos posibles: 

Casos favorables: .

Aplicando la Ley de Laplace la probabilidad es:

3 En una baraja de  cartas, hallar la  y .

1Probabilidad de obtener ases

Casos posibles: .

Casos favorables de ases: .

Aplicando la Ley de Laplace la probabilidad de sacar un as es:

2Probabilidad de obtener copas

Casos posibles: .

Casos favorables de copas: .

Aplicando la Ley de Laplace la probabilidad de sacar una copa es: